[창의력 키우기] 수학사고력

■ 초등
착시현상 문제 풀기
제주도에는 신기한 도로가 있습니다. 내리막길에 차를 세워두면 분명 아래로 내려가야 할 차가 뒷걸음질을 쳐 오르막길로 올라가는 길인데요, 그래서 생긴 별명이 바로 도깨비 도로입니다. 사실 이 도로에서 생기는 신기한 현상은 도깨비가 부리는 마술이 아니라 우리의 착시현상에서 비롯된 것입니다. 실제 경사도가 낮은 곳이 주변의 경관 때문에 시각적으로 높게 보이는 것이지요. 이렇듯 착시현상은 우리 주변에서 신기한 착각을 일으키게 만듭니다. 다음은 수학에서 흔히 찾아볼 수 있는 착시의 예입니다.

<그림1>의 직선은 오른쪽으로 갈수록 넓어져 보이고, <그림2>의 직선은 가운데가 볼록해 보입니다. 하지만 두 직선은 신기하게도 모두 평행입니다.



다음 그림 또한 신기합니다. 도대체 가장 높은 곳과 가장 낮은 곳은 어디일까요?



<문제>

다음은 모눈종이에 그린 삼각형을 잘라 다른 삼각형 모양으로 붙인 것입니다. 똑같은 종이를 잘라 붙인 것인 만큼 넓이가 같아야 하는데 A만큼의 넓이 차가 있어요. 어떻게 된 것일까요?



<해설>

<그림1>과 <그림2>의 삼각형은 언뜻 보아 같은 삼각형처럼 보이지만 실제로는 같은 삼각형이 아닙니다. 게다가 <그림2>의 도형은 정확히 말하면 삼각형이 아닙니다. 빗변이 직선이 아니기 때문이에요. 그래서 두 도형이 넓이 차이가 있는 것은 너무도 당연한 일이지요. 사실은 착시현상으로 같은 도형이라고 착각하는 것뿐이니까요.

■ 중등
도형 넓이 비 구하기

기하에서 가장 기본이 되는 도형은 삼각형입니다. 삼각형의 성질을 충분히 이해하고 있다면 기하문제에서 매우 많은 문제들을 해결할 수 있을 것입니다. 특히 합동과 닮음, 삼각형의 외심, 내심, 무게중심, 등적변환(넓이가 같도록 모양을 바꾸는 것) 등을 공부하는 것은 기하 공부의 기본이 됩니다.

<문제>

다음 그림에서 정사각형의 각 꼭지점과 마주보는 변들의 중점을 이은 선분이 정팔각형을 만들고 있습니다. 다음 그림에서 정사각형과 정팔각형의 넓이의 비를 구하시오.



<해설1>

주어진 도형의 1/4에 대해서만 생각해도 충분하다.

AC를 연결하면 F는 △ABC의 무게 중심이므로 □BEFG의 넓이는 △ABC의 1/3이다.

따라서 주어진 정사각형과 만들어진 정팔각형의 넓이 비는 6:1



<해설2>

△BGF의 넓이를 라고 하면 △BGF≡△BFE이므로 □BEFG의 넓이는 2 이다.

또 △BGF와 △GFA는 넓이가 같으므로 △GFA=

따라서, △ABE=3

□ABCD의 넓이는 △ABE의 넓이의 4배이므로 3 ×4=12

따라서 주어진 정사각형과 만들어진 정팔각형의 넓이 비는 12 : 2 = 6:1
/ 입력시간: 2008. 07.01. 15:14