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[창의력 키우기] 수학사고력
■ 초등
자연수 = 4개의 제곱수 합
아무리 큰 수라도 4개의 제곱수의 합으로 표현할 수 있을까요? 예를 들어 10=4+4+1+1로 나타낼 수 있습니다.
약 2천년 전 그리스인들은 '모든 자연수는 4개 이하의 제곱수의 합으로 쓸 수 있다'는 주장을 했습니다. 5개 이상의 제곱수가 필요한 경우는 절대로 없다는 주장이었어요. 그리스인들은 계산에 계산을 거듭해서 그런 결론에 도달했지만 모든 수가 그렇다는 증명을 해 내지는 못했습니다. 하지만 그 주장은 옳았습니다. 수학자 라그랑주가 그 사실을 후대에 증명했지요.
그렇다면 엄청나게 큰 수를 하나 생각해 볼까요?
18446744073709551613 = 40866437102 + 13213959502 + 639932 + 213422
<문제>
어떤 자연수라도 4개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있습니다. 자신의 생년월일을 4개의 제곱수의 합으로 나타내 보세요.
<해설>
제 생일은 80년 2월 15일입니다. 800215를 4개의 제곱수의 합으로 나타내어 보면 다음과 같지요.
800215=8942 + 312 + 32 + 32
생일 말고 더 큰 수를 생각해서 4개의 제곱수의 합으로 표현해 보세요. 생각에 생각을 거듭하다보면 라그랑주처럼 멋진 증명법이 생각날 수도 있습니다.
라그랑주는 이탈리아에서 꽤 부유한 집안의 막내아들로 태어났지만 그의 아버지가 투기에 손을 대면서 재산을 다 잃고 정작 라그랑주에게 남겨진 거라곤 아무 것도 없었습니다.
그러나 라그랑주는 이 불행을 생애 중 아주 다행스러운 일이라고 여겼습니다.
그는 "아버지가 투기에 실패하고 가난해진 것이 나에게는 오히려 잘 된 일이었다. 만약 옛날 그대로 부자였다면 나는 게으름뱅이가 되어 수학을 공부하지 않았을 것이다"라고 말했답니다.
라그랑주처럼 모든 것이 수학 공부를 잘 할 수 있는 기회라고 생각한다면 수학을 정말 잘 할 수 있겠네요.
■ 중등
배수판정법 활용하기
배수판정법이란 주어진 수가 어떤 수의 배수인지를 확인하는 방법을 말합니다. 예를 들어, 각 자리 수의 합이 3의 배수이면 그 수는 3의 배수라는 사실은 잘 알려져 있습니다. 이 방법을 3의 배수판정법이라고 하며, 다른 수에 대한 배수판정법도 많이 알려져 있습니다. 배수판정법은 정수를 다루는 가장 기본적인 방법이므로 꼭 익히고 그 원리를 기억하고 정리할 필요가 있습니다.
<문제>
자연수 1, 2, 3, 4, 5, 6을 이용해 다음 조건을 만족하는 여섯 자리 수를 만들려고 합니다.
여섯 자리 수를 123456 이라 합시다.
1≤k≤6에 대해서 12…k 은 k의 배수입니다.
즉, 1은 1의 배수, 12 은 2의 배수, …,12 …6은 6의 배수입니다.
을 만족하는 여섯 자리 수를 모두 구하시오.
<해설>
먼저 주어진 조건에 의해서 12345 는 5의 배수가 되어야 하므로 5 =5가 돼야 한다. 그리고 2,4,6 은 모두 짝수가 돼야 하므로 1과 3 은 홀수이다.
i) 1=1, 3=3인 경우 (즉,1 23 45 6 )
1 23 4 는 4의 배수가 되어야 하므로 4 는 2나 6이 들어가야 한다.
또한, 1 23은 3의 배수이므로 1+ 2 +3이 3의 배수가 되어야 한다. 즉, 2 는 2나 5가 가능하다.
그러나 5=5이므로 2=2이다.
따라서, 4=6이고 6=4이다.
따라서 조건을 만족하는 수는 123654이다.
(∵ 1부터 6까지 합은 3의 배수면서 짝수이므로 6의 배수이다.)
ii) 1=3, 3=1인 경우 (즉, 3 21 4,5 6 )
3 21 4는 4의 배수가 되어야 하므로 4는 2나 6이 들어가야 한다.
또한, 3 21은 3의 배수이므로 3+ 2+1이 3의 배수가 되어야 한다. 즉, 2는 2나 5가 가능하다.
그러나 5=5이므로 2=2이다.
따라서, 4=6이고 6=4이다.
따라서 조건을 만족하는 수는 321654이다.
(∵ 1부터 6까지 합은 3의 배수면서 짝수이므로 6의 배수이다.)
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 / 입력시간: 2008. 06.24. 15:31
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