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[창의력 키우기] 수학사고력
■ 초등
상대방 마음 읽는 마술카드
다음은 마음 속에 생각하고 있는 수를 알아맞히는 신기한 마술입니다. 어떤 수를 생각하든지 상대방의 마음을 읽어 그 수를 알아맞힐 수 있어요. 그런데 이 마술은 수학에 관심이 있는 사람이라면 누구든지 쉽게 할 수 있습니다. 수학에 마술의 비밀이 숨어 있거든요.
<문제>
상대방에게 1에서 31 사이에서 임의의 수 하나를 생각하게 합니다. 그리고 아래 다섯 장의 카드를 차례대로 보여주고 생각한 수가 들어있는 카드를 전부 골라내게 합니다.
상대방이 1번, 4번, 5번 카드에 자신의 마음속으로 생각한 수가 있다고 했습니다. 상대방이 생각한 수는 무엇일까요?
<해설>
누구든 카드를 잘 살펴보면 답이 25라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 하지만 마술사처럼 상대방이 생각한 수를 금세 알아맞히는 방법은 없을까요? 어떤 카드를 고르든지 그 카드의 첫 번째 수들의 합이 상대방의 마음 속에 있는 수입니다. 예를 들어 25는 1번, 4번, 5번 카드에 있습니다. 그 25가 들어있는 모든 카드의 첫 번째 수를 더해보세요. 1+8+16=25가 나오지요.
이 마술의 원리는 '2진법'과 관련이 있습니다. '2진법'이라는 말은 숫자 2를 의미하며 전 세계의 모든 컴퓨터가 실제로 이 2진법의 원리로 작동되고 있습니다. 각 카드의 맨 첫 번째 수를 살펴보세요. 그 숫자들은 2와 관련이 있어서 그 첫 번째 숫자에 2를 곱하면 다음 번 카드의 맨 첫 번째 숫자가 됩니다.
■ 중등
마지막 신발장 번호 구하기
1부터 1024까지 번호가 붙어있는 신발장이 있다. 이 신발장은 모두 닫혀 있다. 재구는 첫 번째 사물함을 열고 다음은 닫혀있는 신발장을 한 칸씩 건너면서 신발장의 문을 연다. 끝에 다다르면 거꾸로 돌아오면서 처음 닫혀있는 것을 만나면 그 신발장의 문을 열고 그대로 닫혀있는 신발장을 하나씩 건너뛰면서 닫혀있는 신발장을 연다.
<문제>
이와 같이 반복해서 오고가는 시행을 모든 신발장이 열릴 때까지 계속할 때, 맨 마지막으로 열리게 되는 신발장의 번호를 구하여라.
<해설>
기수법이란 p개의 기호를 사용해서 수를 표현하는 방법으로 일반적으로 십진법이 많이 사용된다. 하지만 이 문제의 경우 '닫혀 있다'와 '열려 있다'의 2가지 상황을 기호 0과 1로 나타내는, 이진법을 활용하는 문제이다.
첫 번째 시도에서 열리는 신발장을 1, 닫힌채 건너뛰는 신발장에는 0을 기록한다.
두 번째 시도에서는 1이 기록된 신발장은 버리고, 0이 기록된 신발장에 대해 시행을 하는데 이 때 열리는 신발장은 0을 앞에 추가로 기록해 00을 만들고, 닫힌채 건너뛰는 신발장에는 1을 추가로 기록해 10을 만든다.
세 번째 시도에서 00이 기록된 신발장은 버리고, 10이 기록된 신발장에 대해 시도한다. 이때 열리는 신발장에는 0을 기록해 010. 닫힌채 건너뛰는 신발장에는 1을 추가로 기록해 110을 만든다.
네 번째 시도에서 열리는 것은 1로 기록해 1110, 닫힌채 남은 것은 0으로 기록해 0110.
다섯 번째 시도에서 열리는 것은 0으로 기록해 00110, 닫힌채 남은 것은 1로 기록해 10110.
(즉, 세 번째 시행부터는 왼쪽에서 오른쪽으로 올 때는 열리는 것에 0을, 오른쪽에서 왼쪽으로 올 때는 열리는 것에 1을 기록한다.)
이런 식으로 반복하면 열 번째 시도에서는 0101010110이 적힌 신발장이 마지막으로 열린다. 즉, 0101010110를 십진법의 수로 나타내면 342번이므로, 342번 신발장이 마지막으로 열린다.
아래는 예시이다. 신발장이 1번부터 16번까지 있다고 가정할 때, 각 신발장에 번호를 이진법의 수로 변환했고 그 아래 빨간색 글씨는 시도한 이후 닫혀있는 신발장을 나타냈다. 이러한 풀이법은 신발장의 번호를 이진법의 수와 같게 만들어 가면서 닫혀 있는 신발장들을 표현하는 발상에서 나왔다.
초등문제
1번카드
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2번카드
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3 |
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3번카드
4 |
5 |
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7 |
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4번카드
8 |
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5번카드
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중등문제
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00101 |
00110 |
00111 |
01000 |
01001 |
01010 |
01011 |
01100 |
01101 |
01110 |
01111 |
10000 |
첫 번째 시행
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0 |
1 |
0 |
1 |
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1 |
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1 |
0 |
두 번째 시행
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세 번째 시행
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네 번째 시행
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 / 입력시간: 2008. 06.17. 15:29
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