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[창의력 키우기] 수학 사고력
■ 초등
'콘웨이 수열' 규칙 찾기
어려운 수학 문제를 해결하기 위해 현상금을 거는 것은 수학계의 오래된 관행입니다. 수학자들이 현상금을 내건 문제들은 풀기가 쉽지 않아서 전문 수학자를 대상으로 하는 것이 보통이지만 수학을 좋아하는 사람들에게는 항상 관심의 대상이 되곤 하지요.
현상금 때문에 가장 곤욕을 치렀던 수학자는 존 콘웨이(Jone Conway·1937∼)일 것입니다. 콘웨이는 수열에 관한 강의를 하던 중 '콘웨이 수열'의 규칙 중 자신이 해결하기 어려웠던 성질에 관한 문제에 현상금 1천 달러를 걸었습니다.
예상외로 단 며칠 만에 문제를 해결한 콜린 맬로즈(Colin Mallows)는 현상금이 1천 달러가 아닌 1만 달러라고 주장합니다. 녹화해 둔 강연 비디오를 보니 콘웨이가 건 상금은 놀랍게도 1만 달러였습니다. 하지만 맬로즈는 콘웨이에게서 받은 현상금 1만 달러를 되돌려주고 대신 1천 달러짜리 수표를 받아 그마저도 현금으로 바꾸지 않고 기념하며 고이 간직했지요.
<문제>
다음은 '괴델, 에셔, 바흐'로 퓰리처 상을 받은 더글러스 호프스태터(Douglas Hofstadter·1945∼)에 의해 처음 발견되고 존 콘웨이에 의해 많은 특성들이 밝혀진 '콘웨이 수열'입니다. 콘웨이 수열의 규칙을 찾아보세요.
1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 11, …
<해설>
1만 달러짜리 콘웨이 수열의 규칙을 함께 살펴봅시다.
우선 수열은 1,1로 시작합니다. 1, 1
세 번째 항은 바로 앞 항이 1이므로 앞에서 첫 번째 항 1과 뒤에서 첫 번째 항 1을 더한 것입니다. 1, 1, 1+1
네 번째 항은 바로 앞 세 번째 항이 2이므로 앞에서 두 번째 항 1과 뒤에서 두 번째 항 1을 더한 것입니다. 1, 1, 2, 1+1
다섯 번째 항은 바로 앞 네 번째 항이 2이므로 앞에서 두 번째 항 1과 뒤에서 두 번째 항 2를 더한 것입니다. 1, 1, 2, 2, 1+2
이런 방법으로 계속하면 콘웨이 수열이 나열됩니다.
콘웨이 수열은 어쩌면 장난같기도 합니다. 그저 장난같기만 한 이 수열이 조합론, 정수론, 군론, 통계학 등 수학의 여러 분야와 밀접한 관련을 맺고 있는 것을 보면 수학의 세계는 참으로 오묘합니다. 자신만의 규칙을 가진 새로운 수열을 만들어 자신의 이름을 붙이고, 그 수열에서 의미있는 여러 가지 발견을 시도해 보면 그 수열이 새로운 수학의 세계를 열게 될 수 있을지도 모릅니다.
■ 중등
컴퍼스로 수직 만나는 원 그리기
기하학에서 작도는 자와 컴퍼스만을 사용해 도형을 그리는 것을 뜻합니다. 이것은 아주 옛날 이집트 시대부터 토지를 측량하기 위해 줄을 이용한 것이 유래가 됐으며, 그리스 시대에는 기하학에서 논리적 사고를 훈련하기 위한 학문으로 발전하게 됐습니다.
작도는 단지 몇 가지 규칙만 적용하는데, ① 두 점을 잇는 직선을 긋는 일, ② 선분을 연장하는 일, ③ 임의의 한 점을 중심으로 해서 다른 한 점을 지나는 원을 그리는 일만 가능합니다. 더욱 신기한 것은 자와 컴퍼스로 작도한 모든 도형은 컴퍼스만으로도 작도가 가능하다는 것입니다. 요즘에는 컴퍼스만 사용하는 작도, 자만을 사용하는 작도 등의 문제가 각종 경시에서 출제되고 있습니다.
<문제>
한 개의 컴퍼스만으로 수직으로 만나는 두 개의 원을 그리시오. (두 개의 원이 수직으로 만난다는 것은 각 교점에서 두 원의 접선이 서로 수직이라는 뜻이다.)
<해설>
반지름이 1인 원 세 개를 이용하여 각각의 거리가 1인 점 A, B, C를 작도한다.
원 B와 C의 다른 교점을 D라고 하면 선분 AD의 길이는 √3 이다.
원 A와 C의 다른 교점을 E라고 하면 삼각형 ADE는 ∠ADE=30°인 직각삼각형이 된다. 선분 AD를 반지름으로 하는 원 D를 그리고, 선분 AE를 반지름으로 하는 원 E를 그리면, 두 원은 교점에서 서로 수직으로 만난다.
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 / 입력시간: 2008. 05.20. 16:22
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