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[창의력 키우기] 수학 사고력
[초등]
"미국 지도 네가지 색으로 칠하기"
'아무리 복잡한 모양이더라도 평평한 종이 위에 그릴 수 있는 있는 지도라면 어떤 것이든 항상 네 가지 색깔만으로 맞닿은 두 지역이 서로 다른 색이 되도록 칠할 수 있다'는 간단해 보이는 '4색 문제'는 수학자들이 증명해내는 데만해도 백년이 넘는 시간이 걸릴 정도로 어려운 문제였습니다.
1976년 일리노이 대학교수인 케네스 아펠과 볼프강 하켄이 '4색 문제'를 처음 증명해냈을 때, 전 세계 수학자들은 매우 기뻐했습니다.
하지만 그 증명은 글과 그림이 수백 쪽에 이르고 계산하고 입증하는 데 컴퓨터의 도움을 받아야 하는 매우 복잡한 과정이었습니다.
<문제>
빨강, 파랑, 초록, 노랑의 네가지 색연필로 미국 지도를 칠하려고 합니다.
가능한 노란 색연필을 적게 사용해서 미국 지도를 색칠한다면, 두 개의 주만 노란색으로 칠할 수 있을까요?
<해설>
이 문제는 여러분이 실제로 지도에 색칠을 하면서 답을 찾는 방법 외에는 별다른 해결책이 없답니다. 증명을 하기에는 매우 복잡한 것이 '4색 문제'이니까요. 단 두 개의 주만을 노란색으로 칠해야 한다면 그곳은 캘리포니아(CA)와 아이오와(IA) 주가 될 겁니다.
수백 쪽에 달하는 '4색 문제'에 대한 증명은 지금까지도 일부 수학자들이 조금이라도 틀린 점이 있지 않을까하는 생각을 하고 있습니다. 언젠가는 누군가 좀 더 짧은 증명을 찾아 낼 수도 있겠지요. 가끔은 굉장히 복잡한 증명에 아주 간단한 수학적 아이디어가 필요할 수도 있지요. 여러분도 좀 더 간단한 '4색 문제' 증명에 도전해 볼 수 있지 않을까요?
[중등]
'복면산' 퍼즐 정답 찾기
복면산(覆面算)은 수학 퍼즐의 한 종류로, 문자로 표현된 수식에서 각 문자가 나타내는 숫자가 무엇인지를 알아내는 문제입니다. 숫자를 문자로 숨겨서 나타내므로 '숫자가 복면을 쓰고 있는 연산'이라는 뜻에서 복면산이라 이름지어졌습니다. 복면산 문제는 일반적으로 같은 문자는 같은 숫자를 나타내고, 서로 다른 문자는 서로 다른 숫자를 나타냅니다. 첫 번째 자리의 숫자는 0이 아니라고 가정하는 것이 기본이며 각 경우를 따져서 답을 찾는 문제입니다.
<문제>
어떤 수학자의 아버지는 자신의 유서에 문자로 된 식을 이용해 아들에게 남길 재산을 기록했습니다. 각 문자는 하나의 숫자를 나타낼 때, 이 수학자는 MONEY의 값이 최대가 되도록 구했습니다. 이 MONEY의 값은 얼마일까요?
<해설>
먼저 MONEY=SHOW+ME+THE<10000+100+1000=11100 이므로,
M=1, O=0 (∵M≠0)
10NEY>10000, THE+1E<1010 이므로 SHOW>8990
이 때 S=9 이다. (∵ S=8 이면 O≠0)
규칙에 따라 N이 최대가 되기 위한 H, T를 찾아보자.
①｛H, T｝=｛8, 7｝인 경우 (합이 15)
H=8이면 E=9, 0, 1 중 하나이므로 다른 숫자와 같다. (X)
H=7이면 E=8, 9, 0 중 하나이므로 다른 숫자와 같다. (X)
②｛H, T｝=｛8, 6｝인 경우 (합이 14)
H=8이면 ①의 경우와 같다. (X)
H=6이면 E=7이다. 그러나 일의 자리가 (14+W)이 되어서 H+1
③｛H, T｝=｛8, 5｝｛7, 6｝인 경우 (합이 13)
ⅰ)｛H, T｝=｛7, 6｝인 경우
H=7이면, E=8이다. 그러나 일의 자리가 (16+W)이 되어서 H+1
H=6이면, E=8이다. 이 때 일의 자리가 (16+W)이 되고, W=2만 가능하다.
그러나 W=2이면 Y=8이 되어서 Y=E이 된다. (X)
ⅱ)｛H, T｝=｛8, 5｝
H=8이면 ①의 경우와 같다. (X)
H=5이면 E=6,7이 가능하다. E=6이면 일의 자리가 (12+W)이 되어서 H+1
즉, W=1, 2, 3, 4, 5가 되고 이 중 W=2일 때, Y=6으로 조건을 만족하게 된다.
(∵ W=5이면 W=H, W=4이면 Y=T, W=3이면 W=E)
따라서 위 과정에 의하여
S=9, H=5, O=0, W=2, M=1, E=7, T=8, N=3, Y=6 일 때, 가장 큰 값 10376을 얻는다.
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 / 입력시간: 2008. 05.13. 13:32
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