[창의력 키우기] 수학 사고력

■ 초등

'비둘기집의 원리' 문제 풀기

열 마리의 비둘기가 9개의 비둘기 집에 들어가려면, 두 마리 이상의 비둘기가 들어가는 비둘기 집은 적어도 하나는 존재합니다. 다시 말하자면, 9개의 비둘기 집 하나에 한 마리씩 비둘기를 넣으면 최대 아홉 마리가 들어갈 수 있으므로 거기에 한 마리를 더 넣으면 이미 넣은 곳에 하나를 더 넣어야 합니다.

이것을 수학적 용어로 표현하면 다음과 같습니다.

"n개의 상자에 n개보다 많은 물건을 넣는다면 적어도 한 상자에는 반드시 두 개 이상의 물건이 들어간다."

비둘기집의 원리는 개수 세기 문제의 유명한 예 가운데 하나로 일대일 대응을 만들 수 없는 무한집합이 들어간 예제를 포함해 여러 가지 문제에 대해 적용할 수 있습니다. 이 원리는 1834년 '서랍 원리'라는 이름으로 디리클레에 의해 처음 언급된 것으로 알려져 있습니다. 이 때문에 러시아 등의 몇몇 언어권에서는 이 원리를 디리클레 원리라고 부릅니다.

<문제>

1천10명의 학생이 수학시험을 친 결과, 총 점수가 5만501점이었다고 합니다. 만점은 100점이었을 때, 시험을 응시한 학생 중 적어도 11명은 점수가 같음을 증명해 봅시다.

<해설>

점수는 0, 1, 2, …, 99, 100점의 101가지 경우가 있을 수 있습니다. 만약 같은 점수를 받은 사람이 각각 10명이라고 가정해 보면 학생 수에 있어서는 문제가 없습니다.

101×10=1010

그런데, 이때의 학생들이 받은 점수의 총점을 구해 봅시다.

10×(0+1+2+3+…+100)=10×5050= 50500

이는 점수가 5만501점이라는 가정과 모순됩니다. 따라서 적어도 11명의 점수는 같아야 합니다.

참고로, 남은 1점을 어떤 사람에게 더해 줄 때, 어떤 사람의 점수가 k점이라고 하면 1점을 더해준 결과는 k+1점이 됩니다. 그런데 이미 k+1점을 받은 학생이 10명 있으므로 결국 k+1점을 받은 학생은 모두 11명이 됩니다. 비둘기집의 원리는 수리 논술에 자주 출제되는 문항입니다. 수리 논술을 잘 하기 위해서는 자신의 생각을 논리적으로 서술하고 설명하는 연습이 많이 필요합니다.



■ 중등

수열·함수 활용 좌표 구하기

규칙을 찾는 것은 수학적 사고에서 가장 기본적인 전략 중 하나입니다. 인간은 어떤 수열을 보면서 분명 어떤 규칙이 있지 않을까 생각하게 마련이지요. 이러한 규칙을 규명하려는 노력은 급수(수열의 합)와 함수로 이어지는데, 이것이 바로 해석학의 시작입니다. 역사적으로는 원주율을 규명하려는 노력이 많았고, 이것이 수학에서 급수를 발전시키는 큰 원동력이 되었습니다.

<문제>

다음과 같이 원점을 시작으로 화살표 방향을 따라서 좌표 평면위에 (0,1), (1,1),

(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2), (0,3), (1,3), …과 같이 점을 찍어 나갈 때, 2008번째 찍은 점의 좌표를 구하시오.

<해설>

점 (2n, 0)까지 찍힌 점의 개수는 (2n) 개이다.

44 <2008<46 , 44 =1936 이므로 다음 그림과 같이 (44,0)에서 출발할 수 있고, 제일 위에 도달했을 때는 1980번째가 된다.

따라서 왼쪽으로 28번을 움직이면 2008번째 점이므로, (16,44)이다.

∴ x좌표는 16, y좌표는 44
/ 입력시간: 2008. 05.06. 09:47