[창의력 키우기] 수학 사고력

■ 초등

가짜 매듭 어느 것일까?

마술사가 자신의 손과 발을 매듭으로 꽁꽁 묶어 상자에 들어간 후, 감쪽같이 매듭을 풀고 탈출하는 신기한 마술을 본 적이 있죠? 가끔은 이렇게 매듭처럼 보이는 것도 매듭이 아닌 경우가 있습니다. 매듭은 신발 끈이나 낚싯줄에만 있는 것이 아니라 우리 몸 속의 DNA, 화학의 원자 구조 등에서도 찾아 볼 수 있습니다. 특히 우리 몸의 바이러스는 살아있는 세포를 공격할 때 매듭이 없는 DNA 염색체 고리를 깨뜨립니다. 분자 생물학자들은 바이러스가 DNA 염색체 고리를 깨뜨린 후, 염색체와 다시 결합해 매듭을 이룬다는 사실을 발견했어요. 이런 매듭 이론을 사용해 바이러스가 사람 몸 속에서 어떤 일을 하는지 알아내지요. 매듭을 공부하면 미래엔 무서운 질병에 대한 치료법을 발견할 수도 있을 것 같네요.



<문제>

수학에서 관심을 갖는 것은 풀리지 않는 매듭입니다. 뒤엉킨 것을 풀어서 직선이 되거나 원이 되는 것은 풀린 매듭이라고 해서 '매듭'이라고 하지 않습니다. 아무리 풀려고 해도 직선이나 원 모양으로 풀 수 없는 것이 진짜 매듭이지요. 다음 엉켜있는 고리 중 진짜 매듭이 아닌 것은 어느 것일까요?



<해설>

여러분이 직접 끈으로 다섯 개의 매듭과 똑같이 만들어서 풀 수 있는 것이 어느 것인지 살펴보세요. 그려진 매듭의 모양과 똑같이 만든 후, 양쪽 끝은 테이프로 붙이세요. 이렇게 만든 끈을 풀어서 엉킨 부분 없이 풀 수 있다면, 맨 처음에 마디가 있는 것처럼 보였다고 해도 진짜 매듭이 아닙니다.

매듭 A는 '세 입 매듭'이라고 합니다. 매듭 B는 '8자 모양 매듭'이라고 하는데 네 번 겹치는 단 하나 뿐인 매듭입니다. 매듭 C는 '할머니 매듭'으로 알려져 있습니다. 진짜 매듭이 아닌 것은 바로 매듭 E입니다. 매듭 E는 엉킨 것을 풀면 원이 되는 풀린 매듭이지요.

매듭 이론을 연구하는 수학자들은 진짜 매듭을 구별하는 규칙을 찾습니다. 서로 다른 종류의 매듭을 구별하는 방법도 연구하지요. 수학자들은 겹치는 횟수가 16번 이하인 170만1천396개의 매듭을 찾았답니다. 신발 끈, 낚싯줄 등 일상에서 엉켜있으면 짜증나기만 했던 매듭 속에도 이런 놀라운 사실이 숨겨져 있어요. 일상의 작은 것들에서도 수학 찾기를 해 본다면 어느 새 놀라운 발견을 하고 있을 지도 모릅니다.



■ 중등

진실 말하는 섬 주민 찾기

논리적 사고를 훈련한다는 것은 주어진 모든 조건들을 만족시키면서 사고하는 법을 훈련하는 것입니다. 수학에서는 한가지의 조건이라도 빠진다면 문제를 해결하지 못한 것이 됩니다. 논리의 기본이 되는 명제, 역, 이, 대우 등을 공부하면 논리적 사고를 더욱 명확하게 할 수 있게 될 것입니다.



<문제>

P섬에 사는 사람들은 오직 진실만을 말하고, Q섬에 사는 사람들은 오직 거짓만을 말합니다. 이 두 섬으로부터 온 세 사람 A, B, C가 있습니다. A, B가 다음과 같이 말했을 때, A, B, C는 각각 어느 섬에서 왔는지 알아봅시다.

ⓐ : 우리는 모두 Q섬에서 왔습니다.

ⓑ : 우리들 중 오직 한 사람만이 P섬에서 왔습니다.



<해설>

1) A의 말이 참이라고 가정해 보자.

우리 모두 Q섬에서 왔다면 A도 거짓말을 해야 한다. 이는 가정과 모순이다. 따라서 A의 말은 거짓이다. 따라서 A는 Q섬에서 왔다.

2) B가 P섬에서 왔다고 가정해 보자.

B의 말이 진실이므로 A, C는 Q섬에서 왔다.

3) B가 Q섬에서 왔다고 가정해 보자.

B의 말이 거짓이므로 P섬 사람이 없거나 둘 이상이어야 한다.

P섬 사람이 없다면, A, B, C가 모두 Q섬에서 왔다는 말이고, 그럼, A의 말과 모순이다.

(A가 Q섬에서 왔으므로 A의 말이 거짓이다.)

P섬 사람이 둘 이상이라면, A와 B가 Q섬에서 왔으므로 모순이다.

따라서 B는 P섬에서 왔다.

따라서 A는 Q섬, B는 P섬, C는 Q섬에서 왔다.
/ 입력시간: 2008. 04.15. 15:27