[체험 학습 현장을 가다] 시작도 끝도, 안도 밖도 없는 마법의 띠

건물은 어떻게 설계되고 산의 높이는 어떻게 알 수 있을까요? 그건 바로 '수학' 덕분입니다. 공부하기는 너무 따분하고 어렵지만 우리 생활에 꼭 필요한 수학. 수학 수업시간이 항상 딱딱하고 재미없기만 했다면, 보고 만지고 느끼는 수학 체험학습은 어떨까요?

이번에는 부산 동래구 여명중학교에서 개설한 '동래수학체험교실'을 들여다보기로 해요. 지난 5일 인근의 사직여중과 남산중 학생 40여명이 찾아와 5명의 선생님들로부터 뫼비우스의 띠에 대해 배우고 직접 이를 이용해 3면 접시를 만들어 봤습니다. 뫼비우스의 띠에는 어떤 이야기가 숨어 있을지 함께 공부해 봅시다.

·뫼비우스의 띠, 이렇게 발견됐다

일단 뫼비우스의 띠의 유래를 알아봅시다. 뫼비우스의 띠는 1865년 독일의 수학자이자 천문학자인 아우구스트 페르디난트 뫼비우스에 의해 발견됐습니다. 1858년 당시 프랑스 파리의 과학협회는 수학을 주제로 한 가장 우수한 논문에 많은 액수의 상금을 걸었습니다. 뫼비우스는 이 대회에 참가하기로 결정하고 논문 주제를 고민하던 중 좁고 긴 직사각형 종이를 180도 꼬아서 끝을 붙인 곡면의 띠를 만들게 됐습니다. 이 띠는 특이하게도 한 개의 면으로 이루어졌지만 바깥쪽과 안쪽의 구별이 없는 도형의 특징도 갖고 있어 '무한 순환'을 의미하기도 합니다. 뫼비우스는 이 띠의 성질을 수학적으로 분석한 논문으로 거액의 상금을 받았답니다. 이후 뫼비우스의 띠는 네덜란드의 그래픽 아티스트 모리츠 코르넬리스 에셔의 작품으로 유명해지고, 1930년대 이래 수리학의 고전적인 난제로 남게 됩니다.

·뒤틀린 표면 속의 마술, 뫼비우스의 띠

이제 본격적으로 뫼비우스의 띠에 대해 알아봅시다. 뫼비우스의 띠는 펼치면 가로로 긴 직사각형 모양의 종이 띠 한쪽 끝을 반 바퀴 돌린 다음 양끝을 서로 붙여서 만들어지는 도형이자 평면입니다. 일반적인 원형 띠에 색칠을 하면 바깥쪽은 칠해지지만 안쪽은 칠할 수가 없지요.하지만 뫼비우스의 띠는 바깥쪽을 칠하다 보면 안쪽까지 칠할 수 있답니다. 즉, 뫼비우스의 띠는 안쪽과 바깥쪽의 구별이 없습니다.

만약 우리가 뫼비우스의 띠와 같이 생긴 행성을 여행한다고 생각해 봅시다. 행성의 표면을 따라 걷다 보면 우리는 행성의 구석구석을 둘러볼 수 있죠. 그런데 이상한 점이 있어요. 행성의 모든 것을 구경했지만 원래 출발했던 곳으론 돌아올 수 없다는 거예요. 지구와 같이 원형으로 된 행성을 돌았다면 당연히 출발점으로 다시 돌아올 수 있었을텐데 말이죠. 이번에는 반대쪽으로 걸어봅시다. 똑같이 행성의 모든 것을 둘러볼 수 있고 출발점으로 돌아올 수도 있어요. 그러나 위·아래가 반대로 됐을 겁니다.

이처럼 뫼비우스의 띠는 오른쪽과 왼쪽을 정의할 수 없습니다. 이를 '방향성이 없다'고 표현합니다. 반면 원형의 구의 경우는 출발할 때와 같은 방향을 유지하면 출발점으로 돌아올 수 있습니다. 즉, '방향성이 있다'가 되는 겁니다.

공부하면 할수록 신기한 뫼비우스의 띠. 생각보다 우리 생활에 많이 적용되고 있습니다. 두 개의 바퀴에 원형의 벨트를 그대로 걸면 쉽게 빠집니다. 그러나 뫼비우스의 띠처럼 꼬아서 걸면 양쪽이 골고루 닳을 뿐만 아니라 잘 빠지지도 않습니다. 또 있습니다. 우주선을 타기 전에 하는 훈련 가운데 하나인 무중력 상태 체험. 이때 쓰이는 기계인 무중력 장치에도 뫼비우스의 띠가 활용됩니다. 무중력 장치의 일종인 세이케 장치에 들어가는 핵심 부품인 전자석을 만들 때 전선을 뫼비우스의 띠 모양으로 감는 겁니다. 그러면 전선을 통해 무한 반복적으로 전자석에 전기가 통하게 되고, 세이케 장치가 작동하게 됩니다. 뫼비우스의 띠는 사람 몸속에도 있답니다. 사람마다 다른 유전 정보를 가지고 있는 DNA의 이중나선 구조에서도 뫼비우스의 띠를 찾아볼 수 있는 거지요. 한동안 과학자들은 이 구조를 이해하는 데 많은 어려움을 겪었는데 최근 이 DNA가 뫼비우스의 띠를 2등분한 모양과 같다는 사실이 발견됐습니다. 이것들은 모두 뫼비우스의 띠가 발견되면서 알 수 있게 된 과학적 사실입니다. 김경희 기자 edu@busanilbo.com

사진=정대현 기자 jhyun@


# 뫼비우스의 띠로 케로로 삼총사 만들어요

뫼비우스의 띠의 원리에 대해 배워봤으니 우리도 뫼비우스의 띠를 활용한 도구를 만들어 볼까요. 바로 '케로로 삼총사 접시'입니다. 일반적인 접시가 앞면과 뒷면이 있는 것과는 달리 이 접시는 하나의 면이 숨어 있는 3개의 면으로 이뤄진 접시입니다.

1.먼저 케로로 삼총사를 예쁘게 칠합니다.

2.칠한 뒤 점선 ①을 가위로 쭉∼자릅니다.

3.점선 ②를 따라 종이 여분을 접습니다.

4.점선 ③을 따라 반으로 접어 띠 모양을 만듭니다.

5.(3)단계에서 뒤로 접어놓은 종이 여분을 붙입니다.

6.④번 선을 따라 자릅니다.

7.연결된 그림은 서로 마주보도록 접고, 연결되지 않은 그림은 양면이 되도록 접습니다.⑤선까지 접으면 됩니다.

8.⑥을 따라 자릅니다. 남겨진 부분은 풀칠할 부분입니다.

9.'케로로' 글자가 있는 부분부터 접혀진 선을 바탕으로 케로로 그림이 맞춰지도록 접습니다.

10.마지막에 남은 부분은 잘라놓은 ④를 벌려 그 사이에 붙입니다. 케로로가 완성됐죠.

11.이제 안으로 눌러진 세 개의 선을 모두 눌러 접은 후 가운데를 함께 벌려 줍니다.

자, 이제 기로로가 나타났나요? 같은 방법으로 한번 더 해 보면, 도로로가 나타납니다. 이제 케로로 삼총사가 모두 모였네요.

# 뫼비우스는

뫼비우스는 1790년 독일에서 태어났습니다. 그의 아버지는 무용 교사였는데 그가 3살 때 돌아가셨습니다. 그로 인해 뫼비우스는 13살까지 학교에 가지 못하고 집에서 교육을 받았습니다. 13살 때 벌써 수학에 남다른 흥미를 갖고 있었다고 하네요. 그리고 23살이 되어 대학에 입학한 그는 가족들이 원했던 법학을 전공으로 공부했죠. 그러나 곧 자신이 좋아하던 수학과 천문학으로 진로를 바꾸게 됩니다. 이후 그는 당시 위대한 수학자 겸 천문학자였던 가우스 밑에서 공부를 하기 시작했습니다. 뫼비우스의 주된 연구 분야는 수학이었는데, 특이한 점은 뫼비우스가 천문학을 주제로 한 비중 있는 논문을 많이 출판했다는 것이죠. 이후 많은 논문을 유명 논문집에 게재하는 등 활발한 활동을 하다 1868년 사망했습니다.

뫼비우스는 활동 당시 '생전 역학(물체 간에 작용하는 힘과 운동의 관계를 연구하는 학문)'과 '기하학(공간의 수리적 성질을 연구하는 수학의 한 분야)'에 많은 업적을 남겼습니다. 또 뫼비우스의 이름은 뫼비우스의 띠 외에도 뫼비우스 함수, 뫼비우스 반전 공식과 같은 중요한 수학적 연구 결과에 붙여졌습니다.

# 동래수학체험교실

동래교육청이 주관하는 '동래수학체험교실'은 중학생을 대상으로 여러 가지 실험 도구를 이용해 수학교과서에 있는 내용들을 체험을 통해 익힐 수 있는 프로그램이다. 1·3주 토요일에는 동래교육청 관내 중학교의 수학 관련 계발활동반을 대상으로 체험식 수학수업이 진행되고, 2·4주 토요일에는 계발활동반이 아니더라도 관내 중학생이면 누구나 수학체험교실을 경험할 수 있다. 5월부터는 일요일에도 수학체험교실을 확대할 계획이다. 여기서는 자유주제 탐구활동 및 1일 2회 워크숍이 진행된다. 워크숍 참가에는 약간의 재료비가 소요된다. 수학체험교실의 강의 주제는 매주 바뀌고, 참가신청과 주제 확인은 동래교육청 홈페이지에서 할 수 있다. 문의 051-550-0144.
/ 입력시간: 2008. 04.15. 15:31