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[창의력키우기] 수학사고력
[초등] 원과 같은 크기 사각형 그리기
화이트 데이로 널리 알려진 3월 14일은 수학자들 사이에서는 파이(π)데이로 통합니다.
파이데이에는 파이를 나눠먹으며 수학에 관련된 행사를 하기도 하고, 파이값 외우기 대회를 하기도 합니다.
파이(π)란 원의 둘레와 지름 사이의 관계를 표현한 수인데, 다음 수학자들의 말을 살펴보면 파이는 우리가 생각했던 것보다 훨씬 흥미롭고 의미있는 수임에 틀림없는 것 같아요.
'π만큼 인간에게 신비와 공상과 오해, 그리고 관심을 불러일으킨 수학 기호는 없을 것이다.' - 윌리엄 샤프
렌 버그렌, 조나단 보와인, 피터 보와인 등 수많은 수학자들을 파이(π)에 그토록 빠지게 한 것은 무엇일까요? 여기 수세기에 걸쳐 수학자들을 고민하게 했던 문제가 있습니다. 간단하지만 결코 간단하지 않은 파이(π)속으로 들어가 볼까요?
<문제>
반지름이 2㎝인 원이 있습니다. 이 원과 똑같은 크기의 정사각형을 그리는 방법을 고안하세요. (단, 반드시 자와 컴퍼스만 사용해야 하고, 유한한 단계로 이뤄져야 합니다.)
<해설>
너무나 간단해 보이는 '원을 정사각형으로 만들기(squaring the circle)'는 일상 언어에서도 '결국 실패하리라'는 의미로 사용되기도 합니다.
원적문제는 19세기에 이르러서야 비로소 작도가 불가능함이 증명되었는데, 그 전에 수많은 사람들이 이 문제를 해결하려고 했지만 결국 정확히 그려낼 수 없었어요. 여러분은 어떤 방법을 고안했나요?
작도가 불가능함이 증명되기 이전에 수학자들이 고안한 완벽하지 않은 방법 중 하나인 아테네의 수피스트 안티폰(Antiphon)의 방법을 소개합니다.
(1) 주어진 원에 내접하는 정사각형을 그립니다.
(2) 이 정사각형의 각 변을 밑변으로 하고, 원 위에 꼭지점을 갖는 이등변삼각형을 작도합니다. 이 결과 원에 내접하는 정 8각형을 얻습니다.
(3) 같은 방법으로 원에 내접하는 정 16각형을 얻습니다.
(4) 계속 n번 이러한 방법을 쓰면 원에 내접하는 정다각형을 얻습니다.
이와 같이 만들어지는 내접 정다각형의 넓이는 n이 증가할수록 점점 원의 넓이와 가까워집니다.
그러나 유한 번의 단계까지는 내접 정다각형의 넓이가 점점 원의 넓이에 가까워지고 있기는 하지만 결코 원의 넓이와 같아지지는 않습니다.
따라서 이렇게 얻어지는 정다각형은 그 넓이가 원의 넓이와 근사적으로 같은 것이지 정확히 같지는 않지요.
수학자 언더우드 두들리는 이렇게 이야기했습니다. '원의 정사각형화는 문명이 끝나지 않는 한 계속될 것이다.' 불가능해 보이지만 끝없이 탐구하는 수학자들의 노력을 닮아가는 파이데이가 되었으면 합니다.
[중등] 2008까지 숫자 중 남은 X는?
<문제>
어느 한 교실의 칠판에 1, 2, 3,…, 2008까지의 수가 적혀 있고, 다음과 같은 규칙으로 수를 지우려고 합니다.
① 한 번에 여러 개의 수를 지울 수가 있습니다.
(예를 들어 1개, 3개, 14개, 2000개의 수를 지울 수가 있습니다.)
② 지운 수의 합을 7로 나눈 나머지를 적어 놓습니다.
이렇게 반복적으로 수를 지우고 다시 쓰고 했더니 칠판에 x와 2008이 남았습니다. 이때, x의 값을 구하시오.
<해설>
우선, 2008개의 수에서 여러 개의 수를 지운 뒤 추가된 수와 남은 수의 합을 7로 나누면 처음 주어진 수의 합을 7로 나눈 나머지와 같고, 변하지 않습니다.
또한, x는 지운 수들의 합을 7로 나눈 나머지이므로, 0≤x≤6입니다.
따라서, x+2008을 7로 나눈 나머지나 1+2+…+2008을 7로 나눈 나머지의 값은 같습니다.
1+2+…+2008 = 7x288148 이므로, 7로 나누면 나머지가 0이 됩니다.
따라서, x+2008을 7로 나눈 나머지도 0이 되어야 하고, 2008을 7로 나눈 나머지는 6이므로 x는 1이 되어야 합니다.
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 / 입력시간: 2008. 03.11. 10:19
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