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[창의력 키우기] 수학사고력
[초 등] '헨젤과 그레텔' 분석 해보기
허구로 꾸며진 동화, 소설, 영화의 내용에는 얼핏 보면 이상하지 않지만 수학적으로 불가능한 내용들이 많습니다. 일상 속에서 접하는 사소한 이야기도 '수학적으로는 가능할까?', '수학적으로 표현한다면 어떻게 될까?'하며 생각해 본다면 훨씬 더 논리적인 사람이 될 수 있을 거예요.
<문제> '헨젤과 그레텔' 동화의 일부분입니다. 수학적으로 가능한 이야기일까요?
헨젤과 그레텔에 등장하는 마음씨 고약한 새엄마는 먹고 살기가 힘들다며 아이들을 숲 속에 버리자고 아빠에게 말했어요. 첫 닭이 울자 새엄마와 아빠는 헨젤과 그레텔을 숲속으로 데리고 갔어요. 눈치빠른 오빠 헨젤은 전날 밤에 몰래 주머니에 숨겨둔 조약돌을 하나씩 떨어뜨리며 걸었지요. 한참을 걷다 점심시간이 되자 새엄마와 아빠는 빵을 주며 나무를 하러 다녀올테니 잠시 기다리라고 하고 사라져버렸지 뭐에요. 하지만 저녁이 되자 헨젤과 그레텔은 달빛을 받아 반짝이는 조약돌을 따라 집으로 무사히 돌아왔어요.
<해설> 헨젤과 그레텔이 첫 닭이 울 때 출발해 점심시간까지 걸었으므로, 걸은 시간을 대략 5시간이라고 가정하고 아이들이 걸은 속도는 숲속임을 감안해서 대략 한 시간에 2㎞를 걷는다고 가정합니다. 그렇다면 이동한 거리는 약 10㎞가 되겠네요. 5m에 하나씩 조약돌을 떨어뜨린다면 약 1천개의 조약돌을 전날 밤 주머니에 몰래 숨겨놓아야 합니다. 어린 헨젤의 주머니에 1천개의 조약돌을 몰래 숨긴다는 것은 불가능한 이야기가 아닐까요?
이 문제는 정답이 있는 문제는 아닙니다. 주어진 사실을 수학적으로 바꾸어 표현하고 논리적으로 서술하는 것이 더 중요한 문제입니다. 사소하고 작은 이야기들을 수학적으로 생각해 보는 즐거운 습관을 키울 수 있길 바랍니다.
[중 등] 카드게임 승자는 누구?
경수와 철민이는 32개의 카드를 가운데 놓고 게임을 합니다. 경수부터 시작해 번갈아가며 한 개의 카드 또는 소수 개의 카드를 가져갈 수 있습니다. 집어갈 카드가 없는 사람이 게임에서 질 때, 누가 게임의 승자가 되겠습니까?(단, 두 사람 모두 최상의 전략을 사용한다고 가정합니다.)
<풀이> 카드가 1개 또는 소수 개 있으면 그걸 전부 가져가면 이길 수 있다.
따라서 내가 카드를 1개 또는 소수 개의 카드를 남겨 놓으면 상대방이 이길 수 있는 상황이 된다.
그럼, 카드가 1개, 2개, 3개, … 놓여있는 상황부터 차근히 생각해 보면서 승리전략을 찾아보자.
현재 경수가 할 상황이라고 가정하고, 몇 가지 경우를 살펴보자. (표)
카드 4n+1, 4n+2, 4n+3개가 있을 때는 카드 1, 2, 3개를 가져가 4n개로 항상 만들 수 있다. 그러므로 위 표에서 볼 수 있듯이 카드 4n개를 남기는 사람이 이길 수 있다.
따라서 처음에 카드 32개가 놓여있을 때는 나중에 가져가는 사람 즉, 철민이가 4n개의 카드를 남기면 이길 수 있다.
답 : 철민 (나중에 하는 사람)
남은 카드 |
이길 수
있는 사람 |
방 법 |
1, 2, 3 |
경수 |
남은 카드를 모두 가져가면 이길 수 있다. |
4 |
철민 |
경수가 카드 1, 2, 3개를 가져갈 수 있고, 철민이가 남은 카드 3, 2, 1개를 모두 가져가면 철민이가 이길 수 있다. 즉, 4개의 카드를 남기는 사람이 이길 수 있다. |
5 |
경수 |
남은 카드를 모두 가져가면 이길 수 있다. |
6 |
경수 |
경수가 카드 2개를 가져가 카드 4개를 남겨놓으면 경수가 이길 수 있다. |
7 |
경수 |
남은 카드를 모두 가져가면 이길 수 있다. |
8 |
철민 |
경수가 카드 1, 3, 5, 7개를 가져가면, 철민이는 남은 카드 7, 5, 3, 1개를 모두 가져가면 철민이가 이길 수 있다. 경수가 카드 2개를 가져가면, 철민이는 남은 카드 6개 중 2개를 가져가 4개를 남기면 철민이가 이길 수 있다. |
9 |
경수 |
경수가 카드 1개를 가져가 카드 8개를 남겨놓으면 경수가 이길 수 있다. |
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 / 입력시간: 2008. 02.26. 09:51
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