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[창의력 키우기] 수학사고력
[초 등] 와인병 부피 계산하기
많은 학생들이 자신의 수학 지식을 시험을 볼 때만 사용합니다. 시험을 보기 위해 공식을 외우고, 계산하는 연습을 하고 있다면 그 지식은 자랄 수 없을 뿐 아니라 창의력, 사고력을 묻는 시험조차도 잘 볼 수 없게 되겠지요. 지식은 활용할 때 빛이 납니다. 둘러보세요. 그리고 자신의 수학 지식을 활용할만한 곳을 찾는 겁니다.
<문제> 맛있는 식사를 위해 레스토랑에 갔습니다. 레스토랑에서 반쯤 담긴 와인병을 보고 와인병의 부피가 궁금해졌습니다. 와인병은 입구가 점점 좁아지기 때문에 부피를 계산해 내기가 쉽지 않습니다. ㎝가 표시된 자 하나만을 갖고 입구가 점점 좁아지는 와인병의 부피를 잴 수 있을까요?
<해설> 와인병의 부피는 와인이 들어있는 곳과 들어있지 않은 빈 공간으로 나누어 볼 수 있습니다. 먼저 와인이 들어있는 부분의 부피는 V=밑넓이×높이로 계산해 볼 수 있으므로 자로 와인병의 밑부분의 지름과 와인이 담긴 높이만 측정하면 다음과 같이 쉽게 계산하여 알 수 있습니다. V=반지름×반지름×3.14×와인 담긴 높이.
문제가 되는 것은 와인 담기지 않은 빈 공간의 부피입니다. 좁아지는 입구의 부피는 어떻게 측정할 수 있을까요?
병을 살짝 뒤집어 보세요. 어때요? 빈 공간의 부피를 쉽게 잴 수 있나요?
오늘 문제를 해결하기위해 병을 뒤집어 본 것처럼 모든 수학 문제를 살짝 뒤집어 보세요. 답이 보일 겁니다.
[중 등]정육면체 문제 정사각형으로 풀기
<문제> 한 변의 길이가 정수인 정육면체 중 한 변의 길이가 각각 2와 3인 정육면체를 이용해 완전히 채워지지 않는 것들이 무한히 많음을 증명하시오.
<풀이> 문제를 해결하기 위해 정육면체의 어느 한 단면인 정사각형에서 생각하는 것으로 충분하다. 왜냐하면 길이가 2와 3인 정사각형으로 완전히 채울 수 없는 정사각형이 무한히 많다는 것을 증명해 보이면 되기 때문이다. 한 변의 길이가 2의 배수이거나 3의 배수이면 각각 한 변의 길이가 2와 3인 정육면체만을 사용해 주어진 정육면체를 채울 수 있다. 한 변의 길이가 각각 2와 3인 정육면체를 이용해 완전히 채울 수 없는 정육면체는 한 변의 길이가 3의 배수가 아닌 홀수일 때이다. 즉, 한 변의 길이가 6n±1(n은 자연수)인 경우이다. 한 변의 길이가 6n+1인 정사각형을 아래와 같이 염색하면 색칠된 단위 사각형의 개수가 6n+1개 더 많다.…(ㄱ)
이제 한 변의 길이가 6n+1인 정사각형이 한 변의 길이가 각각 2와 3인 정사각형으로 완전히 채워졌다고 가정하자. 그러면 큰 정사각형을 채운 사각형들은 다음의 세 가지 형태 중 어느 하나가 된다.
A 형태는 몇 개가 있더라도 색칠된 단위사각형과 색칠되지 않은 단위 사각형의 개수가 동일하다. 만약 B형태와 C형태의 개수가 같다면 한 변의 길이가 6n+1인 사각형 전체에서 색칠된 단위사각형과 색칠되지 않은 단위 사각형의 개수가 동일하게 된다. 이는 사실 (ㄱ)에 위배된다.
색칠된 단위 사각형의 개수가 색칠되지 않은 단위 사각형의 개수보다 많으므로 B의 개수가 C의 개수보다 k(k는 자연수)개 더 많다고 해보자. 그러면 한 변의 길이가 6n+1인 사각형 전체에서 색칠된 단위사각형의 개수는 색칠되지 않은 단위 사각형의 개수보다 3k개가 더 많게 된다. 그런데 이것 역시 사실 (ㄱ)에 위배된다.
따라서 한 변의 길이가 6n+1인 정사각형은 한 변의 길이가 각각 2와 3인 정사각형으로 완전히 채워지지 않는다.
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 / 입력시간: 2008. 02.12. 09:55
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