[우리 곁의 수학] 프랙탈
자연 곳곳에 숨은 불규칙성

프랙탈(fractals)이란 용어는 한 부분이 전체 모습을 대표하는 형상이라는 뜻이다. '부서지는' 또는 '일부분인'이라는 뜻의 fractus라는 어원에서 수학자 맨델브로트(B. Mandelbrot)가 영어와 불어를 합성해 만든 명사다. 그는 1975년 영국 서부 리아시스식 해안에서 프랙탈의 개념을 떠올렸다. 당시 움푹 들어가고 굴곡진 영국 해안선의 길이가 자의 눈금 크기에 따라 달라졌기 때문에 맨델브로트는 영국 서부 해안선의 길이가 얼마나 되는지 의문을 가졌다. 또 이처럼 같은 모양이 불규칙하게 반복되는 구조를 프랙탈이라고 불렀다.

수학적으로 중요한 의미를 갖는 프랙탈 집합은 칸토르(Cantor)집합으로 비교적 간단한 것이다. 이 집합을 생성하려면 구간 을 생각한다. 이 구간을 3등분하고 중앙 부분, 즉 (열린구간)을 제거한다. 이때 양 끝점은 그대로 남아 있다. 남은 부분은 2개의 폐구간으로 각 구간의 길이는 전체의 에 해당한다. 남은 각각의 구간을 3등분하고, 중앙 부분의 열린구간을 제거한다.

제2단계에서는 및 을 제거한다. 각각의 경우에 양 끝점은 그대로 남아 있고 4개의 구간이 남게 되는데, 이때 각 구간의 전체 길이의 에 해당한다. 이와 같이 제거를 무한 번 되풀이해 최종적으로 얻어지는 집합을 칸토르 집합이라고 하며 다음 그림과 같다.

칸토르 집합의 일부를 확대하면 확대하기 전의 형상을 그대로 유지한다. 이것을 자기 유사성(self-similarity)이라 부른다. 닮음비를 알 수 있다면 자기 유사성을 갖는 프랙탈 형상의 기하학적 차원을 정의할 수 있을 것이다. 맨델브로트는 최초로 프랙탈 차원을 정의해 유클리드 기하학 차원의 개념을 확장시켰다. 프랙탈 차원을 설명하기 위해 종이 위에 선을 그려보자.

유클리드 기하학에서 이것의 차원은 1이다. 만일 이 선을 연장해 종이 전체를 메울 때까지 교차되지 않도록 빙빙 돌린다고 해도 유클리드 차원은 여전히 1이다. 그러나 선이 종이 평면을 완전히 채운다면, 이것은 평면과 같은 차원인 2가 된다. 유클리드 차원과는 다르게 프랙탈 차원은 대개 정수가 아닌 분수로 나타난다. 프랙탈 차원은 프랙탈 곡선을 살펴보면 이해가 쉽다. 그릴 때 각 단계에서 이런 곡선의 길이는 4:3의 비율로 커진다고 하면 차원 D는 4가 되는 3의 거듭제곱수, 즉 3D=4를 나타낸다. 프랙탈 곡선을 특징짓는 차원은 이처럼 , 즉 약 1.26이다. 프랙탈 차원은 도형의 미묘한 차이 및 비유클리드 도형의 복잡성을 정확히 나타낸다. 자기유사 및 비정수 차원의 개념이 있는 프랙탈 기하는 통계역학에서, 특히 임의적인 특성을 가지는 물리계에서 더 많이 응용된다. 프랙탈 모의실험은 우주의 은하계 집단분포를 나타내거나 유체 난류에 관한 문제를 연구하는데 이용된다. 프랙탈 기하는 컴퓨터그래픽에도 크게 기여했다. 프랙탈 알고리즘으로 울퉁불퉁한 산의 지세나 정교한 나뭇가지와 같이 매우 복잡하고 불규칙한 자연물을 실물 그대로 그려낼 수 있게 됐다.

우리가 문제에서 아주 많이 접한 코흐곡선(눈송이 곡선)의 길이와 면적을 구해보자. 한 변의 길이가 1인 정삼각형으로 만들어지는 코흐곡선에서 를 단계에 해당하는 코흐 곡선의 변의 개수라 하자. 그러면 다음 식을 얻는다.

제단계에서 한 변의 길이를 L 라 하면, 다음 식을 얻는다.

이제 를 제단계에 해당하는 코흐곡선 길이의 총합이라고 하자.

그러면 이다. 즉, 는 무한등비수열을 이루며 이므로 코흐곡선의 길이는 무한히 길다는 것을 알 수 있다.

제단계에서 코흐곡선이 둘러싸인 곡선의 면적을 라 하고 총합 S를 구하면 다음과 같다. 코흐곡선의 길이는 무한히 길지만 일정한 공간을 벗어나지는 않는다.
/ 입력시간: 2008. 01.29. 15:24