<2> 소수의 성질에 대하여

교수 : 자연수 중 소수에 대하여 간단히 설명해 보아라.

학생 : 자연수 중 양의 약수가 1과 자기 자신밖에 없는 수를 소수라고 합니다.

예를 들면 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 등과 같은 수를 말합니다. 이러한 소수는 무한개 존재합니다. 소수가 아닌 수,즉 1과 그 수 자신 이외의 다른 수로 나누어 떨어지는 수를 합성수라고 합니다.

교수 : 음, 그런가? 그러면 1은 소수인가 합성수인가? 그리고 그 이유도 설명해보게.

학생 : 앞의 답변에서 빠뜨린 것 같습니다. 1은 소수도 합성수도 아닌 수입니다.

만약 1을 소수라고 가정하면 모든 수가 한 가지 방법으로 소인수분해된다는 사실, 이를 소인수분해의 일의성이라고 말하는데 이에 위배됩니다.

예를 들어 6을 소인수분해한다면 2×3, 1×2×3, 1×1×2×3, 1×1×1×2×3,… 등과 같이 여러 가지 방법으로 소인수분해할 수 있게 된다는 것입니다.

따라서 1은 소수가 될 수 없습니다. 물론 1은 합성수도 될 수 없습니다.

교수 : 잘 설명하였네. 그럼 자연수 중에서 소수를 쉽게 찾는 방법을 알고 있는가?

학생 : 자연수 중에서 소수를 가려내는 방법으로 흔히 사용하는 것이 에라토스테네스의 체라고 하는 것입니다.

자연수를 차례대로 1부터 10까지 쓰고, 줄을 바꿔 11부터 20까지, 21부터 30까지 이러한 방법으로 찾고자 하는 수까지 나열해 놓습니다. 그리고 먼저 1은 소수가 아니므로 지우고, 최초의 소수 2를 남겨놓고 2의 배수를 모두 지웁니다.

다음에 남은 수 중에서 2보다 큰 최소의 수 3을 남겨두고 3의 배수를 모두 지우고, 또 남은 수 중에서 3보다 큰 최소의 수 5를 남겨놓고 5의 배수를 찾아 모두 지웁니다. 이런 방법으로 계속하여 소수의 배수들을 지워나가면 마치 체로 쳐서 걸러내듯이 합성수는 걸러내지고 소수들만 남게 됩니다.

교수 : 그러면 자네는 앞서 설명에서 소수의 개수가 무한하다고 하였는데 이를 증명할 수 있겠나?

학생 : (생각을 정리한 후 답한다.) 소수의 집합을 P라 할 때,P가 n개의 원소를 가진 유한집합이라고 가정하면 집합 P의 원소는 p1, p2, p3, …, pn으로 나타낼 수 있습니다.

이때 N을 N=p1·p2·p3·…·pn +1이라 놓으면 N은 소수 p1, p2, p3, …,pn의 어느 수로 나누어도 나머지가 1이므로 나누어 떨어지지 않습니다.

따라서 N은 1 이외의 어떤 약수도 없으므로 반드시 소수가 됩니다.

또한 N은 p1, p2, p3, … , pn보다 큰 수이므로 집합 P의 또 다른 원소입니다. 즉 N은 pi(i=1, 2, 3, …, n)와는 다른 소수가 되며 결국 소수의 개수가 n개라는 가정에 모순이 됩니다.

따라서 집합 P는 무한집합입니다. 그러므로 소수의 개수는 무한합니다.

김한희·국제고등학교 교사

입력시간: 2002. 03.26. 09:17